חקירת פולינום+ פרמטרחקירת פונקציות 571 · שיעור 21

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 21: חקירת פולינום+ פרמטר

מציאת נקודות קיצון וחקירת פולינום

1📝 השאלה

2🔷 הסעיפים

📄 נוסח השאלה

שאלה: לפונקציה y = x³ − ax² + 36x יש נקודת קיצון ב־x = 6.

א. חשב את a.

ב. חשב את נקודות הקיצון וקבע את סוגן.

ג. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים.

ד. שרטט את הפונקציה.

ה. עבור איזה ערכי k גרף הפונקציה y = k חותך את הפונקציה הנתונה:

1. ב־3 נקודות

2. באף נקודה

🔷 הסעיפים

סעיף א: חשב את a.

בנקודת קיצון הנגזרת שווה 0. גוזרים:

y' = 3x² − 2ax + 36

מציבים x = 6 ומשווים ל־0:

3·6² − 2·a·6 + 36 = 0

3·36 − 12a + 36 = 0

108 + 36 − 12a = 0

144 − 12a = 0

144 = 12a ← מחלקים ב־12

✅ a = 12

🔷 הסעיפים

סעיף ב: חשב את נקודות הקיצון וקבע את סוגן.

עכשיו הפונקציה היא y = x³ − 12x² + 36x:

y' = 3x² − 24x + 36 = 0 ← מחלקים ב־3

x² − 8x + 12 = 0

(x − 2)(x − 6) = 0

x = 2 או x = 6

מציבים בפונקציה:

y(2) = 2³ − 12·2² + 36·2

= 8 − 48 + 72 = 32

y(6) = 6³ − 12·6² + 36·6

= 216 − 432 + 216 = 0

מציבים בנגזרת (אחרי החילוק ב־3: x² − 8x + 12):

🔷 הסעיפים · המשך

מציבים בנגזרת (אחרי החילוק ב־3: x² − 8x + 12):

x = 0 ← 0 − 0 + 12 = 12 > 0

x = 3 ← 9 − 24 + 12 = −3 < 0

x = 7 ← 49 − 56 + 12 = 5 > 0

x	0	2	3	6	7
y'	+	0	−	0	+
y	↗	max	↘	min	↗

✅ (2 , 32) נקודת מקסימום
(6 , 0) נקודת מינימום

🔷 הסעיפים

סעיף ג: מצא את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר y (x = 0): y = 0 ← (0 , 0)

עם ציר x (y = 0):

x³ − 12x² + 36x = 0

מוציאים x כגורם משותף:

x(x² − 12x + 36) = 0

x(x − 6)² = 0

x = 0 או x = 6

✅ (0 , 0) , (6 , 0)

🔷 הסעיפים

סעיף ד: שרטט את הפונקציה.

הגרף עולה, עובר דרך (0 , 0) , מגיע למקסימום (2 , 32) , יורד ונוגע בציר x במינימום (6 , 0) , ואז עולה שוב:

🔷 הסעיפים

סעיף ה: עבור איזה ערכי k הישר y = k חותך את הפונקציה ב־3 נקודות? ובאף נקודה?

y = k הוא ישר מאוזן. מזיזים אותו למעלה ולמטה על הסרטוט וסופרים נקודות חיתוך:

כש־k > 32 (מעל המקסימום) או k < 0 (מתחת למינימום): נקודה אחת.

כש־k = 32 או k = 0 (בדיוק בגובה נקודת קיצון): 2 נקודות.

כש־k בין המינימום למקסימום: 3 נקודות.

הגרף עולה בלי סוף ויורד בלי סוף, ולכן כל ישר מאוזן חותך אותו לפחות פעם אחת.

✅ 1. 3 נקודות: 0 < k < 32
2. באף נקודה: אין k כזה

📌 לזכור

💡 בשאלת y = k לא פותרים משוואה, אלא מסתכלים על הסרטוט: הגבולות של k הם תמיד שיעורי ה־y של נקודות הקיצון.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא